「ピタゴラスの定理」の新たな証明発見した学生、更に９通りの方法示す
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米ルイジアナ州の学生、ネキヤ・ジャクソンさんとカルセア・ジョンソンさんは２０２２年、高校の数学コンテストのボーナス問題で、２０００年の歴史を持つピタゴラスの定理を証明する新しい方法を発見し、教師たちを驚かせた。しかし、それはほんの始まりにすぎなかった。
２３年３月にふたりはジョージア州アトランタで開かれた米国数学会の南東部支部会議でこの方法を発表。同会議での最年少の発表者となり、メディアをにぎわせた。
同年、同州の大学に入学したジャクソンさんとジョンソンさんは、当時の証明に加えて９通りの方法を詳述する学術論文を執筆。ふたりの研究は２８日、学術誌「アメリカン・マセマティカル・マンスリー」に掲載された。
ピタゴラスは、２５００年前の古代ギリシャの哲学者であり数学者だった。本人の名を冠した定理を考えついたのが本人なのか弟子たちなのかは明らかでない。この原理は直角三角形の２辺の長さがわかっていれば、残りの１辺の長さを計算できるというもので、数学の授業の中心をなしている。
長年にわたり多くの数学者は定理の証明に代数と幾何学を用いてきた。対照的にジャクソンさんとジョンソンさんは、三角形の研究に焦点を当てた数学の派生分野である三角法を使った証明に成功した。
三角法は本質的にピタゴラスの定理に依拠しており、三角法を用いて定理を証明することは、数学者が「循環論法」と呼ぶものにあたる。そのため専門家らは、ふたりのアプローチはとりわけ困難だと評した。しかし研究によると、新たな証明は循環的ではない。
ふたりは論文で「私たちが証明に使った定理はどれも、すでにピタゴラスの定理が真実であると仮定していない」と述べている。
英ブリストル大学数学部のトム・マードック名誉教授は、「（この研究の）興味深いところは、多くの人がこれを不可能だと考えていた点だと思う」と話す。
同氏は、三角関数はサインとコサインに基づいており、簡単に循環論法に陥るが、この議論の非常に魅力的な点は、ピタゴラスが真実であると仮定しないサインとコサインを用いた論法を見つけたことだと指摘した。
ジャクソンさんとジョンソンさんの研究では、三角法を使用して定理を証明する五つの新たな方法が概説されており、さらにそれらに基づく５通りを加えた合計１０件の証明方法を明らかにしている。２３年の会議で発表したものは一つだけだったため、残りの９通りはまったく新しいものであることを意味する。
以下ソース
https://www.cnn.co.jp/fringe/35225506.htm...
２３年３月にふたりはジョージア州アトランタで開かれた米国数学会の南東部支部会議でこの方法を発表。同会議での最年少の発表者となり、メディアをにぎわせた。
同年、同州の大学に入学したジャクソンさんとジョンソンさんは、当時の証明に加えて９通りの方法を詳述する学術論文を執筆。ふたりの研究は２８日、学術誌「アメリカン・マセマティカル・マンスリー」に掲載された。
ピタゴラスは、２５００年前の古代ギリシャの哲学者であり数学者だった。本人の名を冠した定理を考えついたのが本人なのか弟子たちなのかは明らかでない。この原理は直角三角形の２辺の長さがわかっていれば、残りの１辺の長さを計算できるというもので、数学の授業の中心をなしている。
長年にわたり多くの数学者は定理の証明に代数と幾何学を用いてきた。対照的にジャクソンさんとジョンソンさんは、三角形の研究に焦点を当てた数学の派生分野である三角法を使った証明に成功した。
三角法は本質的にピタゴラスの定理に依拠しており、三角法を用いて定理を証明することは、数学者が「循環論法」と呼ぶものにあたる。そのため専門家らは、ふたりのアプローチはとりわけ困難だと評した。しかし研究によると、新たな証明は循環的ではない。
ふたりは論文で「私たちが証明に使った定理はどれも、すでにピタゴラスの定理が真実であると仮定していない」と述べている。
英ブリストル大学数学部のトム・マードック名誉教授は、「（この研究の）興味深いところは、多くの人がこれを不可能だと考えていた点だと思う」と話す。
同氏は、三角関数はサインとコサインに基づいており、簡単に循環論法に陥るが、この議論の非常に魅力的な点は、ピタゴラスが真実であると仮定しないサインとコサインを用いた論法を見つけたことだと指摘した。
ジャクソンさんとジョンソンさんの研究では、三角法を使用して定理を証明する五つの新たな方法が概説されており、さらにそれらに基づく５通りを加えた合計１０件の証明方法を明らかにしている。２３年の会議で発表したものは一つだけだったため、残りの９通りはまったく新しいものであることを意味する。
以下ソース
https://www.cnn.co.jp/fringe/35225506.htm...
三角法とは、三角形の角の大きさと辺の長さの関係を基礎として、他の証明や測量などの研究へ応用する学問分野ですが、その三角法自体がピタゴラスの定理に依存しているため、三角法でピタゴラスの定理を証明することは「前提のなかに結論を入れる」といういわゆる循環論法に当たるため、「ピタゴラスの定理を三角法により証明することは不可能」とされていました。 しかし「ピタゴラスの定理は三角法で証明できない」という観点はここ数十年で疑問視されるケースが多くあり、証明が何度も試みられてきたそうです。そのためジョンソン氏とジャクソン氏の証明が「最初の三角法によるピタゴラスの定理の証明」というわけではありませんが、マクナルティ氏は彼女らの証明を「これまでに見た中で最も美しく、最も単純な三角法の証明である可能性があります」として高く評価しています。
図では、「a≠b」と仮定した辺a、b、cを持つ直角三角形について、辺bとcの間の角度をα、辺aとcの間の角度をβとしています。この直角三角形についてまず「1,辺bを軸に水平方向に反転したコピーを形成」し、「2,辺cに垂直な直線Aを角βから延長」した後、「3,直線Aと辺cを結ぶ直線Cを引く」という3ステップを行います。すると大きな直角三角形が形成され、その中に元の直角三角形と相似である直角三角形を、左上から次第に小さくなる形で無限に描くことができます。この「無限の相似三角形のシーケンス」を使用して直線AとCの長さを導き出すのが、ジョンソン氏とジャクソン氏の証明となります。https://gigazine.net/news/20230410-teenagers-pythag...
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